En lettere innføring i Kompleks Analyse

av og med dr. med. Phil. dj. Leuat

0. Definisjon

Ta en gjennomsnittlig kompetent annengradsligning med to løsninger, f.eks

som typisk sett gjerne forløper slik:

Som vi ser har dette polynomet to røtter som løsninger i -2 og 2. I følge algebraens fundamentalteorem kan altså dette polynomet faktoriseres som (x-2)(x+2), som i og for seg er ganske fiffig.Men hva skjer hvis vi har et polynom som ikke ser ut til å ha noen løsninger? Ta f. eks

som gjerne ser slik ut:

Denne funksjonen har tilsynelatende ingen reelle røtter. Men her skal vi innføre en ny variabel i for å kunne løse slike ligninger. Vi tar for oss abc-formelen for å finne løsninger til en annengradsligning

og setter så slavisk inn

Her ser vi at vi får et negativt uttrykk under rottegnet, som i utgangspunktet er fy-fy. Men sett at vi nå fikser litt og sier at og innfører en ny bestemt variabel for , nemlig i, så blir ting straks litt mer vakkert.. Går vi tilbake til resultatet vårt, kan vi derfor skrive at

.

Polynomet vil da faktoriseres som

Prøv selv å regne ut – husk bare at

Men hvordan skal man tolke et uttrykk som ? Ettersom må vi nå utvidet vår tallmengde til å også inneholde det komplekse tallet i. Vi sier at , altså i er en delmengde av de komplekse tall (husk at )

Måten man har valgt å løse problemet på er å se på som en vektor i planet – hvor i er definert som enhet langs y-aksen og det naturlige tallet 1 som enhet langs x-aksen.

Et komplekst tall på formen a + ib kalles gjerne for den geometriske form, hvor a-delen er den reelle og ib-delen den komplekse. Når man adderer og subtraherer komplekse tall på geometrisk form, forløper det seg gjerne på lik måte som ved normal vektorregning. Altså: (x+y)+ (a+b) = (x+b) + (b+y).

På kompleks form ser det mer slik ut:

(a + ib) + (c + id) = (a+c) + (c+d)i

altså, man plusser sammen den reelle delen og den komplekse hver for seg.

Eks: (2+3i) + (-3 +i) = -1 + 4i

Eks: (2+3i) * (-3+i) = -6 + (3i*-3) + 2i + (3i*i) = -6 -9i +2i -3 (husk, i*i=-1) = -9 - 7i

1. Kompleks konjugering

Geometrisk sett viser det seg at når en ganger sammen et komplekst tall a+ib med det komplekst konjugerte a-ib, sitter man igjen med en reell løsning. Dette kan hjelpe betraktelig til når en sitter med et komplekst tall i både teller og nevner.

Bevis:

På geometrisk form uttrykkes det komplekst konjugerte som en linje over uttrykket,

som.

Eksempel:

og dermed slipper man tafattige komplekse tall i nevner! Hurra!

0. Komplekse tall på polar form

Når en skal arbeide med komplekse tall på polar form er det uhyre viktig å ha god kjennskap til trigonometriens mirakuløse egenskaper. Og det er ikke nødvendig å pugge hele tabellen over hva cosinus og sinus til de forskjellige verdiene av radien – som oftest er det bare 5 verdier du må huske, nemlig .

Men først, la oss friske opp vår beste venn: Enhetssirkelen i hodet!

Tilfelle b) Når θ = ((n*2)+1) π/4, så er alltid både cosinus og sinus(dvs π/4, 3π/4, 5π/4 etc)

Tilfelle a,c) Når θ er enten er π/3 eller π/6, vet du at enten cosinus eller sinus har verdier ½ eller . Den letteste måten å tenke dette i huet (uten kalkulatorjævel) er ved å halvere ene linjen på sirkelaksene og se hvor linjen krysser sirkellinjen. Eksempelvis - i punktet c på den horisontale aksen (cosinus) er cos = ½. Følger vi linjen opp, ser vi at den treffer et punkt høy på sirkellinjen – punktet a på den vertikale linjen (sinus) er høy oppe, og må derfor være, som igjen tilsier at vi må ha med en vinkel på π/3 å gjøre. Hvis du prøver deg på å halvere den vertikale aksen (sinus), finner du raskt ut at man ender opp med motsatte verdier – og en vinkel på π/6. Fatter du ikke dette, så les en 2mx-bok. Dette er standard trigonometri, for pokker.

1. En heftig definisjon

Nå begynner man å komme til de mer smukre deler av komplekse tall. Ettersom et komplekst tall a+ib kan anvendes som en vektor, kan man derfor også angi vektoren som en vinkel samt avstand fra origo.

Her er r vist som vektorens lengde og θ som radien. Lengden kalles gjerne modulatoren mens radien kalles argumentet. For å finne r, bruker vi bare pythagoras : , mens θ finner vi ved å ta cosinus av a/r og sinus ved hjelp av b/r. Standard trigonometri. Med andre ord kan altså a og b uttrykkes som cosinus av vinkelen ganget med modulator r – som gir oss den deilige formelen

Eksempel: Finn på polar form.

Først finner vi modulatoren r :

Altså r = 2

Så skal vi finne argumentet. Vi ser at cos θ = a/r = ½. Utifra vår bestevenn enhetssirkelen ser vi at når cos θ = ½ så må sin θ =som igjen gir oss at θ er π/6.

Ergo,

Men nå er jeg lat og skal legge meg, så dere får glede dere til neste kurs: Manipulering av komplekse tall på geometrisk og polar form. Hvordan finne røtter, hvordan multiplisere og hvordan finne komplekse løsninger i ligninger. Og ikke minst, hvordan denne merkelige lekre kan revolusjonere livet ditt! Jess!

dr. med. Phil dj. Leuat